Question

如圖，正四棱錐中，，

點M，N分別在PA，BD上，且．

（Ⅰ）求異面直線MN與AD所成角；

（Ⅱ）求證：∥平面PBC；

（Ⅲ）求MN與平面PAB所成角的正弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）異面直線MN與AD所成角為90^o（Ⅱ）同解析（Ⅲ）MN與平面PAB所成角的正弦值是 

解析:

（Ⅰ）設(shè)AC與BD的交點為O，AB=PA=2。以點O為坐標(biāo)原點，，方向分別是x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），

設(shè)P（0，0，p）, 則=(-1,1,p)，又AP=2,∴1+1+p²=4,∴p=,

∵=,

,

∴,,

∵,∴異面直線MN與AD所成角為90^o

（Ⅱ）∵,

設(shè)平面PBC的法向量為=(a,b,c), 則,

取= , ∵,∴MN∥平面PBC。       

（Ⅲ）設(shè)平面PAB的法向量為=(x,y,z),

由，∴則,        

取= , cos<> =,

∴MN與平面PAB所成角的正弦值是