Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））處的切線為2x﹣2y﹣1=0．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與最小值；
（2）求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=1+lnx+a，

故f'（1）=1+a=1，得a=0，又2﹣2f（1）﹣1=0，

所以 ，得 ．

則 ，f'（x）=1+lnx，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

所以 ．

（2）證明：令g（x）=x﹣sinx，x＞0，g'（x）=1﹣cosx≥0，g（x）遞增，

所以g（x）＞g（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，x＞sinx，

令h（x）=ex﹣x﹣1，x＞0，h'（x）=ex﹣1≥0，h（x）遞增，

h（x）＞h（0）=0，所以當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞x+1，

要證 ，由﹣1≤cosx≤1，x＞sinx，及ex＞x+1，

得， ，故原不等式成立，

只需證 ，

即證x2﹣x+1+xlnx＞0．由（1）可得 ，且 ，

所以 ，則原不等式成立

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1）求出a，b的值，求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值即可；（2）令g（x）=x﹣sinx，x＞0，得到當(dāng)x＞0時(shí)，x＞sinx，令h（x）=ex﹣x﹣1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．