已知動直線y=kx交圓(x-2)2+y2=4于坐標(biāo)原點O和點A,交直線x=4于點B,若動點M滿足,動點M的軌跡C的方程為F(x,y)=0.
(1)試用k表示點A、點B的坐標(biāo);
(2)求動點M的軌跡方程F(x,y)=0;
(3)以下給出曲線C的五個方面的性質(zhì),請你選擇其中的三個方面進(jìn)行研究,并說明理由(若你研究的方面多于三個,我們將只對試卷解答中的前三項予以評分).
①對稱性;(2分)
②頂點坐標(biāo)(定義:曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點);(2分)
③圖形范圍;(2分)
④漸近線;(3分)
⑤對方程F(x,y)=0,當(dāng)y≥0時,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.(3分)

【答案】分析:(1)將直線的方程代入圓的方程,得到點A、直線和直線的方程聯(lián)立得出點B的坐標(biāo)從而解決問題.
(2)利用向量的坐標(biāo)關(guān)系式得出點M的參數(shù)方程為(k為參數(shù)),消去參數(shù)k,得動點M的軌跡方程F(x,y)=0;
(3)①關(guān)于對稱性;將方程中的(x,y)換成(x,-y),方程的形式不變,則曲線C關(guān)于x軸對稱.
②關(guān)于頂點坐標(biāo),曲線C的頂點為(0,0);在方程x3+xy2-4y2=0中,令y=0,得x=0.則曲線C的頂點坐標(biāo)為(0,0).
③關(guān)于圖象范圍:0≤x<4,y∈R;,得0≤x<4,y∈R.
④關(guān)于漸近線,直線x=4是曲線C的漸近線;0≤x<4,,當(dāng)x→4時,y→∞.則直線x=4是曲線C的漸近線.
⑤關(guān)于單調(diào)性:當(dāng)y≥0時函數(shù)y=f(x)在[0,4)上單調(diào)遞增.
解答:解:(1),得,
即點.,得,即點B(4,4k).…4分
(2),則點M的參數(shù)方程為(k為參數(shù)),
消去參數(shù)k,得x3+xy2-4y2=0.…8分
(3)①關(guān)于x軸對稱;
將方程中的(x,y)換成(x,-y),方程的形式不變,則曲線C關(guān)于x軸對稱.
②曲線C的頂點為(0,0);
在方程x3+xy2-4y2=0中,令y=0,得x=0.則曲線C的頂點坐標(biāo)為(0,0).
③圖象范圍:0≤x<4,y∈R;,得0≤x<4,y∈R.
④直線x=4是曲線C的漸近線;0≤x<4,,當(dāng)x→4時,y→∞.則直線x=4是曲線C的漸近線.
⑤當(dāng)y≥0時函數(shù)y=f(x)在[0,4)上單調(diào)遞增;.設(shè)0≤x1<x2<4,則=
則y12<y22,即y1<y2,所以當(dāng)y≥0時函數(shù)y=f(x)在[0,4)上單調(diào)遞增.
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、考查了曲線的幾何性質(zhì),解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動圓C過點A(-2,0),且與圓M:(x-2)2+y2=64相內(nèi)切
(1)求動圓C的圓心的軌跡方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m(其中k,m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點B,D,與雙曲線
x2
4 
-
y2
12
=1
交于不同兩點E,F(xiàn),問是否存在直線l,使得向量
DF
+
BE
=
0
,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•豐臺區(qū)一模)已知點A(-1,0),B(1,0),動點P滿足|PA|+|PB|=2
3
,記動點P的軌跡為W.
(Ⅰ)求W的方程;  
(Ⅱ)直線y=kx+1與曲線W交于不同的兩點C,D,若存在點M(m,0),使得|CM|=|DM|成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河南模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點P到兩點(0,-
3
),(0,
3
)的距離之和等于4,設(shè)點P的軌跡為C,已知直線y=kx+l與C交于A、B兩點.
(I)寫出C的方程;
(Ⅱ)若以AB為直徑的圓過原點0,求k的值;
(Ⅲ)若點A在第一象限,證明:當(dāng)k>0時,恒有|OA|>|OB|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南匯區(qū)二模)已知動直線y=kx交圓(x-2)2+y2=4于坐標(biāo)原點O和點A,交直線x=4于點B,若動點M滿足
OM
=
AB
,動點M的軌跡C的方程為F(x,y)=0.
(1)試用k表示點A、點B的坐標(biāo);
(2)求動點M的軌跡方程F(x,y)=0;
(3)以下給出曲線C的五個方面的性質(zhì),請你選擇其中的三個方面進(jìn)行研究,并說明理由(若你研究的方面多于三個,我們將只對試卷解答中的前三項予以評分).
①對稱性;(2分)
②頂點坐標(biāo)(定義:曲線與其對稱軸的交點稱為該曲線的頂點);(2分)
③圖形范圍;(2分)
④漸近線;(3分)
⑤對方程F(x,y)=0,當(dāng)y≥0時,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.(3分)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案