Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n是正整數(shù)1，2，3…n的一個排列，令b_j表示排在j的左邊且比j大的數(shù)的個數(shù)，b_j稱為j的逆序數(shù)，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序數(shù)是0，2的逆序數(shù)是3，則由1至9這9個數(shù)字構(gòu)成的所有排列中，滿足1的逆序數(shù)是2，2的逆序數(shù)是3，5的逆序數(shù)是3的不同排列種數(shù)是（ ）
A．720
B．1008
C．1260
D．1440

Answer 1

【答案】分析：由題意知1必在第3位，2必在第5位； 5可以在第6位，5也可以在第7位，5也可以在第8位；分3種情況進行討論．
解答：解：由題意知，1必在第3位，2必在第5位； 5可以在第6位，5可以在第7位，5也可以在第8位．
若5在第6位，則5前面有3個空位，需從6，7，8，9中選出3個填上，
把剩下的3個數(shù)填在5后面的3個空位上，則有C₄³AA═144種，
若5在第7位，則5前面有4個空位，其中3，4當中的一個應填在其中的一個空位上，余下3個空位，需從6，7，8，9中選出3個填上；其它2個數(shù)填在剩余的2個位上，則有C₄³C₂¹AA₂²=384種，
若5在第8位，則5前面有5個空位，其中3，4應填在其中的兩個空位上，余下3個空位，需從6，7，8，9中選出3個填上；其它1個數(shù)填在剩余的1個位上，則有C₄³C₂²AA₁¹=480種，
合計為：144+384+480=1008種，
故選：B．
點評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，本題解題的關(guān)鍵是分類時做到不重不漏．