Question

用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)．
（1）共有多少個(gè)四位數(shù)？其中偶數(shù)有多少個(gè)？
（2）比4301大的四位數(shù)有多少個(gè)？
（3）能被3整除的四位數(shù)有多少個(gè)？
注：以上結(jié)果均用數(shù)字作答．

Answer 1

（1）由題意知，因?yàn)閿?shù)字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的數(shù)字，從五個(gè)非0數(shù)字中選一個(gè)，共有C₅¹種結(jié)果，
余下的五個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有A₅³種結(jié)果，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有A¹₅•A³₅=300；
用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，則0不能排在首位，末位必須為0，2，4其中之一．
所以可分兩類，末位為0，則其它位沒(méi)限制，從剩下的5個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，再進(jìn)行排列即可，共有A₅³=60個(gè)
第二類，末位不排0，又需分步，第一步，從2或4中選一個(gè)來(lái)排末位，有C₂¹=2種選法，第二步排首位，首位不能排0，從剩下的4個(gè)數(shù)中選1個(gè)，有4種選法，第三步，排2，3位，沒(méi)有限制，從剩下的4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，再進(jìn)行排列即可，共有12種．
把三步相乘，共有2×4×12=96個(gè)
最后，兩類相加，共有60+96=156個(gè)
（2）當(dāng)首位是5時(shí)，其他幾個(gè)數(shù)字在三個(gè)位置上排列，共有A₅³=60，
當(dāng)前兩位是45時(shí)，共有

A

24

=4×3=12個(gè)，
當(dāng)前兩位是43時(shí)，共有

A

24

=4×3=12個(gè)，去掉4301即可，即有12-1=11個(gè)．
根據(jù)分類加法原理得到共有：60+12+12-1=83個(gè)．
（3）0，3一組，1，5一組，2，4一組，1，2一組，45一組；
被3整除的數(shù)字包括兩種情況，
一是包含0，3的，需要先從余下的非0數(shù)字中選一個(gè)做首位．
剩下的三個(gè)數(shù)字選一個(gè)放在第二位，共有4A₃¹A₃³=72種結(jié)果，
二是不含0，3的，共有A₄⁴=24種結(jié)果，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有72+24=96．