Question

已知函數f（x）=2x³-6x²+3與直線y=a有三個交點，則a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用

分析：由已知得f′（x）=6x²-12x，令f′（x）=0，得x=0或x=2，由此利用導數性質求出f（x）_極小值=f（2）=-5，f（x）_極大值=f（0）=3，由函數f（x）=2x³-6x²+3與直線y=a有三個交點，能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=2x³-6x²+3，
∴f′（x）=6x²-12x，
由f′（x）=0，得x=0或x=2，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0；當x∈（0，2）時，f′（x）＜0；
當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），減區(qū)間是（0，2），
∴f（x）_極小值=f（2）=-5，f（x）_極大值=f（0）=3，
∵函數f（x）=2x³-6x²+3與直線y=a有三個交點，
∴-5＜a＜3．
∴a的取值范圍是（-5，3）．
故答案為：（-5，3）．

點評：本題主要考查了函數零點與圖象交點間的關系和相互轉化，三次函數零點個數問題，導數在函數單調性和極值中的應用