Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若在區(qū)間[2，+∞）上存在一點(diǎn)x，使得f（x）＜g（x）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為討論的符號(hào)，分類討論即可；
（2）考查反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即在x∈[2，+∞）上恒成立，確定函數(shù)的最小值即可，再取其補(bǔ)集可得結(jié)論．
解答：解：（1），因e^ax＞0且，故只需討論的符號(hào)
所以 ①當(dāng)時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上為增函數(shù)
②當(dāng)時(shí)，令f′（x）=0解得．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

x
f'（x）	+		-		+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）在，，為增函數(shù)，
f（x）在為減函數(shù)．                           …（6分）
（2）考查反面情況：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先，即，其次，，考慮
因在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，故h（x）在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（2）≥0，所以在x∈[2，+∞）上恒成立，所以，
綜上…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題，解題的關(guān)鍵是考查反面情況，轉(zhuǎn)化為恒成立問題．