【題目】(本小題滿分16分)平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
(1)求圓O的方程;
(2)若直線與圓O切于第一象限,且與坐標(biāo)軸交于D,E,當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí),求直線的方程;
(3)設(shè)M,P是圓O上任意兩點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)(m,0)和(n,0),問(wèn)mn是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由。
【答案】(1)x2+y2=2.(2)x+y-2=0.(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出O點(diǎn)到直線x﹣y+1=0的距離,進(jìn)而可求圓O的半徑,即可得到圓O的方程;(2)設(shè)直線l的方程,利用直線l與圓O相切,及基本不等式,可求DE長(zhǎng)最小時(shí),直線l的方程;(3)設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),則N(x1,﹣y1), ,,求出直線MP、NP分別與x軸的交點(diǎn),進(jìn)而可求mn的值.
(1)因?yàn)?/span>O到直線x-y+1=0的距離為 ,
所以圓O的半徑r==,故圓O的方程為x2+y2=2.
(2)設(shè)直線l的方程為+=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,
由直線l與圓O相切,得=,即=,
所以DE2=a2+b2=2(a2+b2)()
=2≥2
=8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立),
此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0.
(3)設(shè)M(x1,y1),P(x2,y2),
則N(x1,-y1),x+y=2,x+y=2,
直線MP與x軸的交點(diǎn)為,即m= .
直線NP與x軸的交點(diǎn)為,即n=.
所以mn= =
===2,
故mn=2為定值.
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【題目】已知命題p:m∈R,使得函數(shù)f(x)=x2+(m﹣1)x2﹣2是奇函數(shù),命題q:向量 =(x1 , y1), =(x2 , y2),則“ = ”是:“ ”的充要條件,則下列命題為真命題的是( )
A.p∧q
B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q)
D.(¬p)∧(¬q)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= x2﹣kx;
(1)設(shè)k=m+ (m>0),若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)設(shè)M(x)=f(x)﹣g(x),若函數(shù)M(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2(x1>x2),且滿足2x0=x1+x2 , 問(wèn):函數(shù)M(x)在(x0 , M(x0))處的切線能否平行于直線y=1,若能,求出該切線方程,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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A. B. C. D.
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