已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足5x+4y+3z=10.

(1)求證:++≥5.

(2)求+的最小值.

 

(1)見(jiàn)解析 (2) 18

【解析】(1)根據(jù)柯西不等式,得

[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,

當(dāng)且僅當(dāng)==,

即x=,y=,z=時(shí)取等號(hào).

因?yàn)?/span>5x+4y+3z=10,

所以++≥=5.

(2)根據(jù)平均值不等式,得

+≥2=2·,

當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2+z2時(shí),等號(hào)成立.

根據(jù)柯西不等式,得

(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,

即x2+y2+z2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),

等號(hào)成立.

綜上,+≥2·32=18.

當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.

所以+的最小值為18.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(A)A與B為互斥事件

(B)A與B為對(duì)立事件

(C)A與C為對(duì)立事件

(D)A與C為互斥事件

 

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若a,b,c為不全相等的正數(shù),求證:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.

 

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直線(xiàn)l1:x+3y-7=0,l2:kx-y-2=0與x軸的正半軸及y軸的正半軸所圍成的四邊形有外接圓,則k的值為(　　)

(A)-3 (B)3 (C)1 (D)2

 

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以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線(xiàn)x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

 

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