Question

已知曲線C：y=x³-3x²，直線l：y=-2x
（1）求曲線C與直線l圍成的區(qū)域的面積；
（2）求曲線y=x³-3x²（0≤x≤1）與直線l圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析：（1）先求出曲線C：y=x³-3x²，直線l：y=-2x的交點(diǎn)坐標(biāo)，確定出積分區(qū)間與被積函數(shù)，用積分求出曲線C與直線l圍成的區(qū)域的面積；
（2）曲線y=x³-3x²（0≤x≤1）與直線l圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積可由一個(gè)圓錐體的體積減去一個(gè)不規(guī)則幾何體的體體積，被積函數(shù)為π[（-2x）²-（x³-3x²）²]，求出積分即可得到所求的旋轉(zhuǎn)體的體積

解答：解：（1）聯(lián)立y=x³-3x²與y=-2x得：x=0，1或2．
∴曲線C與直線l有三個(gè)交點(diǎn)．
y'=3x²-6x令y′=0得：x=0或x=2
∵當(dāng)x∈（-∞，0）∪（2，+∞）時(shí)，
y′＞0，當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，y'＜0，
∴曲線C大致形狀如圖所示．
∴S=∫

1 0

[x3-3x2-(-2x)]dx+∫

2 1

(-2x-x3+3x2)dx=

1

2

（2）由題意，旋轉(zhuǎn)體的體積V=∫

1 0

π[(-2x)2-(x3-3x2)2]d x=

41

105

π

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定積分求簡(jiǎn)單幾何體的體積，解著此類問題，關(guān)鍵是掌握積分的幾何意義及根據(jù)題設(shè)條件確定出被積函數(shù)與積分區(qū)間，熟練掌握求導(dǎo)的運(yùn)算規(guī)則是正確求定積分的知識(shí)保證．