Question

已知曲線C上任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁(-1,0)與F₂(1,0)的距離之和為4．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)曲線C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A，過點(diǎn)M(-4,0)作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點(diǎn)（B在M、C之間），N為BC中點(diǎn)．
(ⅰ)證明：k·k_ON為定值；
(ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．

試題分析：（1）由于曲線C上任意一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁(-1,0)與F₂(1,0)的距離之和為4，結(jié)合橢圓的定義可知曲線Ｃ是以兩定點(diǎn)F₁(-1,0)和F₂(1,0)為焦點(diǎn)，長軸長為４的橢圓，從而可寫出曲線C的方程；
（2）由已知可設(shè)出過點(diǎn)直線l的方程，并設(shè)出直線l與曲線C所有交點(diǎn)的坐標(biāo)；然后聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，消去y就可獲得一個關(guān)于x的一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理就可寫出兩交點(diǎn)模坐標(biāo)的和與積；(ⅰ)應(yīng)用上述結(jié)果就可以用k的代數(shù)式表示出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，這樣就可求出ON的斜率，再乘以k就可證明k·k_ON為定值；(ⅱ）由F₁N⊥AC，得k_AC•k_FN= -1，結(jié)合前邊結(jié)果就可將此等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一個方程，解此方程，若無解，則對應(yīng)直線不存在，若有解，則存在且對應(yīng)直線方程很易寫出來.
試題解析：（1）由已知可得：曲線Ｃ是以兩定點(diǎn)F₁(-1,0)和F₂(1,0)為焦點(diǎn)，長軸長為４的橢圓，所以，故曲線C的方程為：.     4分
（2）設(shè)過點(diǎn)M的直線l的方程為y=k(x+4)，設(shè)B(x₁, y₁)，C(x₂, y₂）(x₂>y₂)．
(ⅰ)聯(lián)立方程組，得，
則，            5分
故，，      7分
所以，所以k•k_ON=為定值.      8分
(ⅱ)若F₁N⊥AC，則k_AC•k_FN= -1，
因?yàn)镕₁ (-1,0)，故，   10分
代入y₂=k(x₂+4)得x₂=-2-8k²，y₂="2k" -8k³，而x₂≥-2，故只能k=0，顯然不成立，所以這樣的直線不存在．                13分