Question

已知函數(shù)f（x）=x+

t

x

，有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)（0，

t

]上是減函數(shù)，在[

t

，+∞）上是增函數(shù)．
（1）已知h（x）=x+

4

x

，x∈[1，8]，求函數(shù)h（x）的最大值和最小值．
（2）已知f（x）=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域．
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=-x-2a，若對(duì)于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用已知明確h（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，在x∈[2，8]上單調(diào)遞增，則在x=2時(shí)取最小值，比較1與8的函數(shù)值得到最大值；
（2）把2x+1看成整體，研究對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的值域，以及利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)得到該函數(shù)的單調(diào)性；
（3）對(duì)于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）可轉(zhuǎn)化成f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集，建立關(guān)系式，解之即可．

解答： 解：（1）由已知可知，函數(shù)h（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，在x∈[2，8]上單調(diào)遞增，
因?yàn)?span id="zb79jxr" class="MathJye">h(1)=5＜h(8)=

17

2

，所以當(dāng)x=8時(shí)，h(x)max=h(8)=

17

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，h（x）_min=h（2）=4
（2）y=f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
設(shè)u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，則y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，
由已知性質(zhì)得，
當(dāng)1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以遞減區(qū)間為[0，

1

2

]
當(dāng)2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以遞增區(qū)間為[

1

2

，1]
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，得f（x）的值域?yàn)閇-4，-3]
（3）由于g（x）=-x-2a為減函數(shù)，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
由題意，f（x）的值域?yàn)間（x）的值域的子集，
從而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

所以a=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力．