Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤

1

m+1

成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

，即可得到結(jié)論．

解答： 解：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，
等價(jià)于|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

，
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，
故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，
而f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+		-		+
f（x）	-2	遞增	2	遞減	-2	遞增	2

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴|f（x）_max-f（x）_min|=4，
即4≤

1

m+1

，
∴0＜m+1≤

1

4

，
即-1＜m≤-

3

4

∴m的取值范圍是（-1，-

3

4

]，
故答案為：（-1，-

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用不等式恒成立的等價(jià)條件，將條件轉(zhuǎn)化為求|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

是解決本題的關(guān)鍵．