Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，3a_n為方程x²+2x-12S_n=0的一根（N∈n）．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n；
（2）求證：當(dāng)N≥2時(shí)，++…+＜．

Answer 1

解：（1）∵原方程x²+2x-12S_n=0有一根為3a_n
∴9即4…①…（1分）
令n=1，
∴或a₁=0
∵a_n＞0
∴（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)， …②
①-②得：4+2a_n-2a_n-1
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n-a_n-1=0…（5分）
∴= 滿足
∴…（6分）
（2）記C_n═
則C_n+1-C_n=
=[]＜0
∴C_n＞C_n+1…（9分）
∴C_n＜C_n-1＜C_n-2＜…＜C₂
即C_n≤C₂==…（11分）
∴++…+=[]
=C_n×==…（12分）
分析：（1）由已知可得，9即4，從而可求a₁，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1=0，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）記C_n═，利用單調(diào)性的定義可判斷C_n＞C_n+1即C_n＜C_n-1＜C_n-2＜…＜C₂，從而可得C_n≤C₂，代入可證
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解及數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性