Question

在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

，若|

OP

|＜

1

2

，則|

OA

|的最大值是

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：計算題,平面向量及應用

分析：根據(jù)條件可得，A，B₁，P，B₂構成矩形AB₁PB₂，以AB₁，AB₂所在直線為x，y軸建立直角坐標系，設|

AB1

|=a，|

AB2

|=b，O（x，y），則P（a，b），運用向量的平方即為模的平方，得到x，y的關系式，由條件|

OP

|＜

1

2

，化簡變形，即可得到

7

4

＜x2+y2≤2，進而得到|

OA

|的最大值．

解答： 解：根據(jù)條件可得，A，B₁，P，B₂構成矩形AB₁PB₂，
以AB₁，AB₂所在直線為x，y軸建立直角坐標系，
設|

AB1

|=a，|

AB2

|=b，O（x，y），則P（a，b），
由|

OB1

|=|

OB2

|=1，得

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

則有

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

，
由于|

OP

|＜

1

2

，則（x-a）²+（y-b）²＜

1

4

，
即有1-y²+1-x²＜

1

4

，即x²+y²＞

7

4

，
由于y²=1-（x-a）²≤1，即y²≤1，同理x²≤1，
即有x²+y²≤2，
則有

7

4

＜x2+y2≤2，由于|

OA

|=

x2+y2

，即

7

2

＜|

OA

|≤

2

．
即最大值為

2

，此時O與P重合．
故答案為：

2

．

點評：本題考查平面向量的運用，考查坐標法解決向量問題的方法，注意運用向量的平方即為向量的模，考查運算能力，屬于中檔題．