Question

直角坐標系xOy中，一動點P到F（2

2

，0）距離與P點到直線L：x=3

2

的距離之比為

6

3

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）是否存在直線l：y=kx-2（k≠0）使直線l與動點P的軌跡相交于不同的兩點M，N且|

AM

|=|

AN

|，其中A（0，2）．若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由動點P到F（2

2

，0）距離與P點到直線L：x=3

2

的距離之比為

6

3

．可得

(x-2 2 )2+y2

|x-3 2 |

=

6

3

，化簡即可得出．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀），直線MN的方程為：y=kx-2．由|

AM

|=|

AN

|可知：點A在線段MN的垂直平分線上，與橢圓方程聯(lián)立化為（1+3k²）x²-12kx=0，k≠0，△＞0，利用根與系數(shù)的關系及中點坐標公式可得P(

12k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)．由于AP⊥MN，k_AP•k=-1，解得即可．

解答： 解：（1）∵動點P到F（2

2

，0）距離與P點到直線L：x=3

2

的距離之比為

6

3

．
∴

(x-2 2 )2+y2

|x-3 2 |

=

6

3

，
化為

x2

12

+

y2

4

=1，為橢圓．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點P（x₀，y₀），直線MN的方程為：y=kx-2．
由|

AM

|=|

AN

|可知：點A在線段MN的垂直平分線上，
聯(lián)立

y=kx-2 x2+3y2=12

，化為（1+3k²）x²-12kx=0，k≠0，△＞0，
∴x₁+x₂=

12k

1+3k2

，
∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

，y₀=kx₀-2=

-2

1+3k2

．
∴P(

12k

1+3k2

，

-2

1+3k2

)．
∴直線AP的斜率為k₁=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-3k2

2k

，
∵AP⊥MN，∴

-2-3k2

2k

×k=-1，
∴k²=

1

3

，解得 k=±

3

3

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、斜率計算公式、線段的垂直平分線方程、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．