Question

已知點F（0，1），點M是F關(guān)于原點的對稱點．
（1）若橢圓C₁的兩個焦點分別為F，M，且離心率為

1

2

，求橢圓C₁的方程；
（2）若動點P到定點F的距離等于點P到定直線l：y=-1的距離，求動點P的軌跡C₂的方程；
（3）過點M作（2）中的軌跡C₂的切線，若切點在第一象限，求切線m的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）依題意，設(shè)橢圓C₁的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，由題意知

c=1 e= c a = 1 2 c2=a2-b2

，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）依題意，動點P的軌跡為焦點F（0，1）的拋物線，由此能求出拋物線C₂的方程．
（3）設(shè)切點Q（x0，

x02

4

），x₀＞0．由y′=

x

2

，得所求切線方程y=

x0

2

x-

x02

4

．由此能求出切線方程．

解答： 解：（1）∵點F（0，1），點M是F關(guān)于原點的對稱點，
橢圓C₁的兩個焦點分別為F，M，且離心率為

1

2

，
∴依題意，設(shè)橢圓C₁的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，
∵

c=1 e= c a = 1 2 c2=a2-b2

，∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C₁的方程為C₁：

y2

4

+

x2

3

=1．…（5分）
（2）∵動點P到定點F的距離等于點P到定直線l：y=-1的距離，
依題意，動點P的軌跡為焦點F（0，1）的拋物線，
∴拋物線C₂的方程為x²=4y．…（8分）
（3）設(shè)切點Q（x0，

x02

4

），x₀＞0．
由y=

x2

4

，得y′=

x

2

，∴拋物線在Q點處的切線斜率為

x0

2

，
∴所求切線方程y-

x02

4

=

x0

2

(x-x0)，即y=

x0

2

x-

x02

4

．
∵C2：x2=4y的焦點F（0，1）關(guān)于原點的對稱點M（0，-1）．
∴點M（0，-1）在切線上，∴-1=-

x02

4

，
∴x₀=2或x₀=-2（舍去）．∴所求切線方程為y=x-1．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程、拋物線方程的求法，考查切線方程的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運用．