Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；

（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PC的中點(diǎn)．求三棱錐A﹣PEB的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．

又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC

∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，

又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，

∵AD平面PAD，∴PAD⊥底面PCD

（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，∴AD∥平面PBC

∴點(diǎn)A到平面PBC的距離即為點(diǎn)D到平面PBC的距離

又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)

∴PC⊥DE

由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．

由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．

又∵PC∩BC=C

∴DE⊥面PBC．

∴ ， ，

又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，

∵AD∥BC，∴AD⊥BC

∴

∴

【解析】（1）證明面面垂直找線面垂直，證明線面垂直找線線垂直。即PD⊥AD，AD⊥CD證明結(jié)論。
（2）證明點(diǎn)A到平面PBC的距離即為點(diǎn)D到平面PBC的距離，利用等體積轉(zhuǎn)化法即可求出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．