Question

已知tanα=

1

2

，sin（α+β）=-

2

10

，其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求cosβ的值；
（2）求α-β的值．

Answer 1

分析：（1）由α的范圍，及tanα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦，求出cosα的值，再利用同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系求出sinα的值，由α與β的范圍，及sin（α+β）的值小于0，求出α+β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（α+β）的值，然后把所求式子中的角β變?yōu)椋é?β）-α，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出cosβ的值；
（2）由求出的cosβ的值小于0，及已知β的范圍，得到β的具體范圍，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinβ的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos（α-β），把各自的值代入求出cos（α-β）的值，并由α和β的范圍，求出α-β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α-β的度數(shù)．

解答：解：（1）∵tanα=

1

2

＞0，且0＜α＜π，
∴0＜α＜

π

2

，…（1分）
∴cosα=

1 1+tan2α

=

2 5

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

5

5

，…（2分）
又0＜β＜π，
∴0＜α+β＜

3π

2

，…（3分）
又sin（α+β）=-

2

10

＜0，
∴π＜α+β＜

3π

2

，又sin（α+β）=-

2

10

，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

7 2

10

，…（4分）
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

7 2

10

×

2 5

5

-

2

10

×

5

5

=-

3 10

10

；…（6分）
（2）∵cosβ=-

3 10

10

＜0，且0＜β＜π，
∴

π

2

＜β＜π，
∴sinβ=

1-cos2β

=

10

10

，（8分）
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=

2 5

5

×（-

3 10

10

）+

5

5

×

10

10

=-

2

2

，…（10分）
又0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，
∴-π＜α-β＜0，…（11分）
則α-β=-

3π

4

．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，靈活變換角度，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．學(xué)生在求值時(shí)，應(yīng)注意角度的范圍．