Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x+1|（x∈R）
（1）證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）利用絕對值及分段函數(shù)知識，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式，然后畫出函數(shù)圖象，并寫出函數(shù)的值域；
（3）在同一坐標系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（﹣x）=|﹣x﹣1|+|﹣x+1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x）

∴f（x）是偶函數(shù)

（2）解：原函數(shù)式可化為：

；其圖象如圖所示，

由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域為[2，+∞）

（3）解：由函數(shù)圖象知，

當x=0或2時，f（x）=x+2．

結合圖象可得，不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，我們判斷f（﹣x）與f（x）的關系，進而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得函數(shù)的奇偶性，（2）先將帶絕對值的函數(shù)轉化成分段函數(shù)的形式，進而結合分段函數(shù)的圖象和性質及偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，可得函數(shù)簡圖；（3）根據(jù)（2）中函數(shù)簡圖，數(shù)形結合可在同一坐標系中畫出直線y=x+2，觀察圖象寫出不等式f（x）＞x+2的解集．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的相關知識點，需要掌握偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．