Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在與x無(wú)關(guān)的正常數(shù)M，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則稱f（x）為有界泛函．有下面四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=1；   
②f（x）=x²；   
③f（x）=2xsinx；   
④f(x)=

x

x2+x+2

．
其中屬于有界泛函的是（　　）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)有界泛函的定義進(jìn)行判定：對(duì)于①可以利用定義直接加以判斷，
對(duì)于②可以利用絕對(duì)值的性質(zhì)將不等式變形為|x|≤m，
對(duì)于③，即|2sinx|≤M，只需M≥2，
對(duì)于④，將不等式變形為|

1

x2+x+2

|≤M，可以求出符合條件的m的最小值

解答：解：對(duì)于①，顯然不存在M都有1≤M|x|成立，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故不是有界泛函；②錯(cuò)
對(duì)于③，f（x）|=|2xsinx|≤M|x|，即|2sinx|≤M，當(dāng)M≥2時(shí)，f（x）=3xsinx是有界泛函．．③對(duì)
對(duì)于④，|f(x)=

x

x2+x+2

|）|≤M|x|，即|

1

x2+x+2

|=

1

x2+x+2

≤M，只需≥

7

4

，④對(duì)
綜上所述，③④
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數(shù)學(xué)的閱讀理解能力．知識(shí)點(diǎn)方面主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考生需要有較強(qiáng)的分析問題解決問題的能力，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．