Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1，b₁+ b₂+…+b₁₀ =145．

（1）求數(shù)列{b_n}的通項b_n．

（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的通項（其中a>0，且a≠1），記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，試比較S_n與的大小，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵ b1=1，b1+ b2+…+b10 =145． 設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d， 則 解得：d=3 ∴ bn=1+(n－1)·3=3n－2． （2）解法１： 由bn=3n－2，知 當(dāng)n = 1時： 當(dāng)n = 2時：… 猜測： 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1º當(dāng)n=1時，已驗證不等式成立． 2º假設(shè)當(dāng)n=k (k≥1)時，不等式成立，即： 那么，當(dāng)n=k+1時， ∵ ∴ 因而 ∴ 當(dāng)n=k+1時，不等式成立． 由1º、2º知，對一切n∈N，不等式都成立． 則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知： 當(dāng)a>1時， 當(dāng)0< a <1時， 解法2： 設(shè)： 則： ∵ ，；，，…… ， ∴ =3n+1 ∴ 若 a >1，則 即 若0< a <1，則 即 解法3：構(gòu)造函數(shù) 則： 設(shè)：3n+1=m, 則 ∴ 　　∴ f ( n+1 ) > f ( n ) ∴ f ( n )在n∈N上是增函數(shù) ∴ 　　 ∴f ( n ) > 1 ∴