Question

已知函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）+1
（1）求f（x）的值域及當(dāng)y取最大值時(shí)，自變量x的集合；
（2）求周期及對(duì)稱點(diǎn)
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于正弦函數(shù)的值域，求得函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）+1的值域．再根據(jù)當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，
k∈z時(shí)，y取最大值為4，求得自變量x的集合．
（2）根據(jù)函數(shù)的周期T=

2π

ω

 求得結(jié)果．令2x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x的值，可得函數(shù)圖象對(duì)稱點(diǎn)．
（3）根據(jù)x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）由于-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，故函數(shù)f（x）=3sin（2x+

π

6

）+1的值域?yàn)閇-2，4]，
且當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z時(shí)，y取最大值為4，此時(shí)自變量x的集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．
（2）函數(shù)的周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
令2x+

π

6

=kπ，k∈z，可得 x=

kπ

2

-

π

12

，故函數(shù)圖象對(duì)稱點(diǎn)為（

kπ

2

-

π

12

，0）．
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為4，
當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，函數(shù)取得最小值為3（-

1

2

）+1=-

1

2

，
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

1

2

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．