設(shè)0＜|
a
|≤2，函數(shù)f（x）=cos2x-|
a
|sinx-|
b
|的最大值0，最小值為-4，且
a
與
b
的夾角為45°，求（
a
+
b
）2．
分析：由已知f（x）可變形為：f（x）=-(sinx+
|
a
|
2
)2+
|
a
|2
4
-|
b
|+1，根據(jù)-1≤sinx≤1，0＜|
a
|≤2及二次函數(shù)性質(zhì)可求出f（x）的最大值、最小值，令其分別為0，-4，可解出|
a
|，|
b
|，進(jìn)而可求得(
a
+
b
)2．
解答：解：f（x）=cos2x-|
a
|sinx-|
b
|=-sin2x-|
a
|sinx-|
b
|+1=-(sinx+
|
a
|
2
)2+
|
a
|2
4
-|
b
|+1，
因?yàn)?1≤sinx≤1，0＜|
a
|≤2⇒-1＜-
|
a
|
2
＜0，
所以當(dāng)sinx=-
|
a
|
2
時(shí)，f（x）取得最大值為
|
a
|2
4
-|
b
|+1，
當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）取得最小值為-|
a
|-|
b
|，
由題意得，
|
a
|2
4
-|
b
|+1=0①，-|
a
|-|
b
|=-4②，
聯(lián)立①②解得|
a
|=2，|
b
|=2，
又
a
與
b
的夾角為45°，
所以(
a
+
b
)2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=4+4+2×2×2cos45°=8+4
2
．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解及向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函f（x）=ln x，g（x）=
12
ax2+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時(shí)，函h（x）=f（x）-g（x），在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=-2，b=4時(shí)，求證2x-f（x）≥g（x）-3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函f(x)=
x2-bx+c，x≤0
2，x＞0
若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，則函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）
A、3個(gè)B、2個(gè)C、1個(gè)D、0個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函f（x）=e2+ax，g（x）=exlnx
（1）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處得切線與直x+（e-1）y=1垂直，求a的值．
（2）若對任意實(shí)x≥0f（x）＞0恒成立，確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）a=1時(shí)，是否存x0∈[1，e]，使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x=x0處得切線與y軸垂直？若存在求x0的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函f（x）=ln x，g（x）=數(shù)學(xué)公式ax2+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時(shí)，函h（x）=f（x）-g（x），在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=-2，b=4時(shí)，求證2x-f（x）≥g（x）-3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年四川省宜賓市南溪一中高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函f（x）=ln x，g（x）=ax2+bx（a≠0）．
（1）若a=-2時(shí)，函h（x）=f（x）-g（x），在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=-2，b=4時(shí)，求證2x-f（x）≥g（x）-3．

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