Question

已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間．（不需要嚴(yán)格證明）

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x，知當(dāng)x＜0時，f（x）=f（-x）=x²+2x，由此能求出f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x≥0時，y=x²-2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=1，頂點坐標(biāo)（1，-1），當(dāng)y=0時，x₁=0，x₂=2；當(dāng)x=0時，y=0；當(dāng)x＜0時，y=x²+2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=-1，頂點坐標(biāo)（-1，-1），當(dāng)y=0時，x=-2．由此能作出函數(shù)f（x）的圖象．結(jié)合圖象，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x，
當(dāng)x＜0時，-x＞0，
f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
∴f（x）=f（-x）=x²+2x，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（2）∵f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，
∴當(dāng)x≥0時，y=x²-2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=1，頂點坐標(biāo)（1，-1），
當(dāng)y=0時，x₁=0，x₂=2；當(dāng)x=0時，y=0．
當(dāng)x＜0時，y=x²+2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=-1，頂點坐標(biāo)（-1，-1），
當(dāng)y=0時，x=-2．
由此能作出函數(shù)f（x）的圖象如下：

結(jié)合圖象，知f（x）的增區(qū)間是（-1，0），（1，+∞）；減區(qū)間是（-∞，-1），（0，1）．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)圖象的作法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，解題時要認真審題，仔細解答．