Question

函數(shù)f（x）=ax³-3x+1 對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a 的取值范圍為（　�。�

A．[2，+∞）

B．[4，+∞）

C．{4}

D．[2，4]

Answer 1

分析：對x分-1≤x＜0，x=0，0＜x≤1三種情況分別求出a的取值范圍，然后求其交集即可．

解答：解：①當(dāng)x=0時，f（x）=1≥0，對于a∈R皆成立．
②當(dāng)0＜x≤1時，若總有f（x）≥0，則ax³-3x+1≥0，∴a≥

3

x2

-

1

x3

，
令g（x）=

3

x2

-

1

x3

，g^′（x）=

-6

x3

+

3

x4

=

-6(x- 1 2 )

x4

，令g^′（x）=0，解得x=

1

2

．
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，g^′（x）＞0；當(dāng)

1

2

＜x≤1時，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x=

1

2

時取得最大值，g（

1

2

）=4，∴a≥4．
③當(dāng)-1≤x＜0時，若總有f（x）=0，則 ax³-3x+1≥0，∴a≤

3

x2

-

1

x3

．
令h（x）=

3

x2

-

1

x3

，則h^′（x）=

-6(x- 1 2 )

x4

≥0，
∴h（x）在[-1，0）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-1時，h（x）取得最小值，h（-1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函數(shù)f（x）=ax³-3x+1 對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a必須滿足

a∈R a≥4 a≤4

，解得a=4．
∴a 的取值范圍為{4}．
故選C．

點評：本題考查了含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間（含0）上恒成立問題，即可以對自變量x進(jìn)行分類討論，也可對參數(shù)a分類討論，求出答案．