Question

設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)的所有x之和為（　�。�

• A、1006
• B、1005
• C、2011
• D、2010

Answer 1

分析：由已知中f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，我們易得滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)時(shí)，x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，利用韋達(dá)定理，易得到答案．

解答：解：∵f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，
∴當(dāng)f(x)=f(

x+2

x-1005

)時(shí)
x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

即x²-1006x-2=0或x²-1004x+2=0
由韋達(dá)定理得：
x₁+x₂=1006，x₃+x₄=1004
即滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)的所有x之和為1006+1004=2010
故選D

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性及單調(diào)性我們判斷出滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)時(shí)，x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

，是解答本題的關(guān)鍵．