Question

已知實軸長為2a，虛軸長為2b的雙曲線S的焦點在x軸上，直線y=+x是雙曲線S的一條漸近線，而且原點O，點A（a，0）和點B（0，-b）使等式成立，
（Ⅰ）求雙曲線S的方程；
（Ⅱ）若雙曲線S上存在兩個點關(guān)于直線l：y=kx+4對稱，求實數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)雙曲線S的方程為，
且，解方程組得，
∴所求雙曲線的方程為。 
（Ⅱ）當k=0時，雙曲線S上顯然不存在兩個點關(guān)于直線l：y=kx+4對稱；
當k≠0時，設(shè)又曲線S上的兩點M、N關(guān)于直線l對稱，
由l⊥MN，直線MN的方程為，
則M、N兩點的坐標滿足方程組，
消去y得，
顯然，
∴，
即，
設(shè)線段MN中點為，
則，
∵在直線l：y=kx+4上，
∴，即，
∴，∴，解得m＞0或m＜-1，
∴或，
∴或，即或，且k≠0，
∴k的取值范圍是。