Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

3

）-cos2x，其中x∈R，給出下列四個結(jié)論
①函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是x=

2π

3

③函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心為（

5π

12

，0）
④函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
則正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：展開兩角和的余弦公式后合并同類項，然后化積化簡f（x）的解析式．
①由周期公式求周期，再由f（0）≠0說明命題錯誤；
②③直接代值驗證說明命題正確；
④由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得增區(qū)間說明命題正確．

解答： 解：∵f（x）=cos（2x+

π

3

）-cos2x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

-cos2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x-cos2x=-

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=-sin(2x+

π

6

)．
∴T=

2π

2

=π，即函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
但f(0)=-sin

π

6

=-

1

2

≠0，函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)．命題①錯誤；
∵f(

2π

3

)=-sin(2×

2π

3

+

π

6

)=-sin

3π

2

=1，
∴函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸是x=

2π

3

．命題②正確；
∵f(

5π

12

)=-sin(2×

5π

12

+

π

6

)=-sinπ=0，
∴函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心為（

5π

12

，0）．命題③正確；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．命題④正確．
∴正確結(jié)論的個數(shù)是3個．
故選：C．

點評：本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，關(guān)鍵是對教材基礎(chǔ)知識的記憶，是中檔題．