Question

（2011•淄博二模）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點為F₁、F₂，短軸兩端點B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，且點N（0，3）到橢圓上的點最遠距離為5

2

．
（1）求此時橢圓C的方程；
（2）設斜率為k（k≠0）的直線m與橢圓C相交于不同的兩點E、F，Q為EF的中點，問E、F兩點能否關于過點P（0，

3

3

）、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，得出b=c，進而得到a²=b²+c²=2b²，再設橢圓的方程（含參數(shù)b），設H（x，y）為橢圓上一點，化簡點（0，3）到橢圓上的點的距離，利用其最大值，分類討論求出參數(shù)b的值，即得橢圓的方程．
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1．由直線l與橢圓相交于不同的兩點可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須KPQ=-

1

k

，利用方程的根與系數(shù)的關系代入得m=

1+2k2

3

，從而可求k得范圍

解答：解：（1）∵F₁、F₂、B₁、B₂四點共圓，
∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
設橢圓的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，N（0，3）
設H（x，y）為橢圓上一點，則|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 b=-3±5

2

（舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的橢圓的方程為：

x2

32

+

y2

16

=1．
（2）設直線L的方程為y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直線l與橢圓相交于不同的兩點知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱，必須KPQ=-

1

k

設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），則xQ=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，yQ=kxQ+m=

m

1+2k2

∵KPQ=

m 1+2k2 + 3 3

- 2km 1+2k2

=-

1

k

解得m=

1+2k2

3

．③
由②、③得

(1+2k2)2

3

＜32k2+16
∴-

1

2

＜k2＜

47

2

，
∵k²＞0，
∴0＜k2＜

47

2

∴-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

故當-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

時，A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱．

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，點關于直線的對稱得性質(zhì)的應用．橢圓的性質(zhì)及其應用、函數(shù)最值的求法等，解題時要注意分類討論思想的合理運用．