Question

已知f（x）=2cos2x+

3

sin2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a=1且f（A）=3，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出單調(diào)增區(qū)間；
（II）首先根據(jù)f（A）=3求出∠A，然后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA及b²+c²≥2bc得出bc≤

a2

2(1-cosA)

，進而可以求出三角形面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，…（3分）
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（Ⅱ）∵f（A）=3，∴sin(2A+

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，∴2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

．
又a²=b²+c²-2bccosA及   b²+c²≥2bc，∴bc≤

a2

2(1-cosA)

，
∴S=

1

2

bcsinA≤

a2sinA

4(1-cosA)

=

2+ 3

4

，當且僅當b=c時，取“=”．
∴S的最大值為

2+ 3

4

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性以及三角形的面積公式，關(guān)鍵是基本的三角函數(shù)的性質(zhì)的掌握熟練程度，是中檔題．