已知函數(shù)f（x）=x2+
a
x
（x≠0）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（1）=2，試判斷f（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性．
（1）當a=0時，f（x）=x2，f（-x）=f（x），函數(shù)是偶函數(shù)．…（2分）
當a≠0時，f（x）=x2+
a
x
（x≠0，常數(shù)a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0；
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…（5分）
∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．…（6分）
（2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，這時f（x）=x2+
1
x
．…（7分）
任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，…（8分）
則f（x1）-f（x2）=
x21
+
1
x1
-(
x22
+
1
x2
)=(x1-x2)(x1+x2)+
x2-x1
x1x2
=(x1-x2)[(x1+x2)-
1
x1x2
]，…（11分）
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1+x2＞
1
x1x2
，…（12分）
所以f（x1）＜f（x2），…（13分）
故f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．…（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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