Question

（2012•藍山縣模擬）已知關于x的方程9^x-（4+a）•3^x+4=0有兩個實數(shù)解x₁，x₂，則

x12+x22

x1x2

的最小值是

2

．

Answer 1

分析：由題設可先將3^x看作一個整體，將方程整理為一元二次方程，由根與系數(shù)的關系得到3^x₁•3^x₂=4，即可得到x₁+x₂=2log₃2，進而再得到x₁x₂≤（log₃2）²．代入即可求得

x12+x22

x1x2

的最小值

解答：解：原方程可化為（3^x）²-（4+a）•3^x+4=0，
∴3^x₁•3^x₂=4，
∴x₁+x₂=2log₃2，
又（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
∴x₁x₂≤（log₃2）²．
∴

x12+x22

x1x2

=

( x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

4(log32)2

x1x2

-2≥2．
故答案為2

點評：本題考查根與系數(shù)的關系，基本不等式在最值問題中的運用，指數(shù)型復合函數(shù)的應用，本題具有一定的探究性，思維量大，考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想與推理判斷的能力，解答的關鍵是將內(nèi)層函數(shù)看作一個整體，及結(jié)合基本不等式求出x₁x₂≤（log₃2）²．