Question

在四面體ABCD中，已知AB=x，該四面體的其余五條棱的長度均為2，則下列說法中錯誤的是（　�。�

• A、棱長x的取值范圍是：0＜x＜2

  3

• B、該四面體一定滿足：AB⊥CD
• C、當x=2

  2

  時，該四面體的表面積最大
• D、當x=2時，該四面體的體積最大

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由題意畫出圖形，然后根據(jù)AB的變化情況進行分析，要構(gòu)成四面體，A不能落在面BCD上，從而得到x的取值范圍；由線面垂直的判定證得CD垂直于AB所在的面，從而得到AB⊥CD；再由∠ACB=∠ADB=90°時側(cè)面ABC和ABD面積最大，得到使四面體的表面積最大時的x的值；四面體體積最大，則需面ACD⊥面BCD，x值可求．

解答： 解：如圖，

四面體ABCD中，AD=AC=DC=BD=BC=2，
取CD中點G，連結(jié)AG，BG，
在等邊三角形ACD和等邊三角形BCD中，可求得AG=BG=

3

，
∴要構(gòu)成四面體ABCD，A，B不能重合，即x＞0，點A不能在平面BCD上，即AB＜AG+BG，x＜2

3

．
∴選項A正確；
由

AG⊥CD BG⊥CD AG∩BG=G

⇒CD⊥面ABG，
∵AB?面ABG，
∴AB⊥CD．
∴選項B正確；
要使四面體ABCD的表面積最大，則需要四面體的側(cè)面ABC和ABD面積最大，
∵△ABC≌△ABD，S△ABC=

1

2

×2×2×sin∠ACB，
∴當∠ACB=90°時
此時AB=側(cè)面ABC和ABD面積最大，此時x=2

2

．
∴選項C正確；
由圖可知，當AG⊥面BCD時四面體體積最大，此時x=

3+3

=

6

．
∴選項D錯誤．
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，解答的關(guān)鍵在于動中求靜，是中檔題．