已知函數(shù)f(x)＝k[(logax)2＋(logxa)2]－(logax)3－(logxa)3，(其中a＞1)，g(x)＝x2－2bx＋4，設t＝logax＋logxa．

(Ⅰ)當x∈(1，a)∪(a，＋∞)時，將f(x)表示成t的函數(shù)h(t)，并探究函數(shù)h(t)是否有極值；

(Ⅱ)當k＝4時，若對x1∈(1，＋∞)，x2∈[1，2]，使f(x1)≤g(x2)，試求實數(shù)b的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵，

　　，

　　∴

　　∴

　　設是的兩根，則，∴在定義域內(nèi)至多有一解，

　　欲使在定義域內(nèi)有極值，只需在內(nèi)有解，且的值在根的左右兩側(cè)異號，∴得

　　綜上：當時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當時在定義域內(nèi)無極值

　　(Ⅱ)∵對任意的，存在，使等價于

　　時，f(x)max

　　又k＝4時，h(t)＝－t3＋4t2＋3t－8(t，

　　

　　∴h(t)max＝h(3)＝10，

　　

　　∴

　　∴


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：黑龍江省鶴崗一中2010－2011學年高二下學期期末考試數(shù)學理科試題 題型：013

已知函數(shù)f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，a≠1)為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，則函數(shù)y＝ax＋k的圖象為

[　　]

A．

B．

C．

D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試山東卷數(shù)學理科 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設g(x)＝(x2＋x)(x)，其中(x)為f(x)的導函數(shù)，證明：對任意x＞0，g(x)＜1＋e－2．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試山東卷數(shù)學文科 題型：044

已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設g(x)＝x(x)，其中(x)為f(x)的導函數(shù)．證明：對任意x＞0，g(x)＜1＋e－2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)為f(x)的導函數(shù)，證明：對任意x>0，g(x)<1＋e－2.

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