Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由題意求出函數(shù)的周期，利用周期公式求出ω的值，即可確定出f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）利用平移規(guī)律得出g（x）的解析式，g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=-k在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個交點，利用正弦函數(shù)圖象即可確定出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx=sin（2ωx+

π

3

），
由題意知，最小正周期T=2×

π

4

=

π

2

，而T=

2π

|2ω|

=

π

2

，
∵ω＞0，∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x+

π

3

）；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個

π

8

個單位后，得到y(tǒng)=sin（4x-

π

6

）的圖象，
再將所得圖象所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin（2x-

π

6

）的圖象，
∴g（x）=sin（2x-

π

6

），
令2x-

π

6

=t，
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤t≤

5π

6

，
∵g（x）+k=0，在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個實數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=-k在區(qū)間[0，

π

2

]上有且只有一個交點，
∴由正弦函數(shù)的圖象可知-

1

2

≤-k＜

1

2

或-k=1，
∴-

1

2

＜k≤

1

2

或k=-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移規(guī)律，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．