【答案】
分析:(1)先求出φ(x)的解析式,再求出定義域,求出導數(shù)并進行整理,對△=k
2-8進行分兩類討論,分別求出k的范圍、φ′(x)≥0和φ′(x)<0對應的x范圍,即是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由題意得轉(zhuǎn)化為:x∈[e,+∞)都有xlnx≥ax-a成立,分離出a后構(gòu)造函數(shù)h(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124521008932138/SYS201310251245210089321020_DA/0.png)
,利用導數(shù)求出此函數(shù)在[e,+∞)上的最小值;
另解:由xlnx≥ax-a構(gòu)造函數(shù)h(x)=xlnx-ax+a,利用導數(shù)求出h(x)在[e,+∞)上的最小值,需要對a進行分類討論.
解答:解:(Ⅰ)由題意得φ(x)=x-
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+klnx的定義域為(0,+∞),
∴φ′(x)=
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=
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,
令y=x
2+kx+2得,則△=k
2-8,
①當△=k
2-8≤0時,即
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,φ′(x)≥0,
②當△=k
2-8>0時,即
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或
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,
此時方程x
2+kx+2=0有兩個不同實根:
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,
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,
若
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時,則x
1<x
2<0,故φ′(x)>0,
若
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時,則0<x
1<x
2,
當0<x<x
1或x>x
2時,φ′(x)>0;當x
1<x<x
2時,φ′(x)<0,
綜上:當
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時,φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+∞),
當
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時,φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,
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),(
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,+∞),
單調(diào)減區(qū)間為(
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,
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);
(Ⅱ)由題意得,x∈[e,+∞)都有xlnx≥ax-a成立,即a≤
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,
令h(x)=
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,x∈[e,+∞),
則h′(x)=
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=
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,
∵當x≥e時,(x-lnx-1)′=1-
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>0,
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2>0,即h′(x)>0,
則h(x)在[e,+∞)上遞增,故h(x)
min=h(e)=
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,
∴
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;
另解:由xlnx≥ax-a得,xlnx-ax+a≥0,
令h(x)=xlnx-ax+a,則當在[e,+∞)上時,h(x)
min≥0,
則h′(x)=lnx+1-a,由h′(x)=0得x=e
a-1,
當0<x<e
a-1時,h′(x)<0;當x>e
a-1時,h′(x)>0,
∴h(x)在(0,e
a-1)上單調(diào)遞減,在(e
a-1,+∞)上單調(diào)遞增,
①當a≤2時,e
a-1≤e
∴h(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(x)
min=h(e)=e-ae+a≥0,即
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,
②當a>2時,h(e)≥0,即e-ae+a≥0,得e+a≥ae,
若2<a<e,則e+a<2e<ae;若a≥e,則e+a≤2a<ae,
∴a>2不成立,
綜上所述
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124521008932138/SYS201310251245210089321020_DA/25.png)
.
點評:本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關系,以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求單調(diào)性和最值等綜合應用,考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和分離常數(shù)方法.