Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是：

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是參數(shù)）．
（Ⅰ） 若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=

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，試求實(shí)數(shù)m值．
（Ⅱ） 設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，可得x²+y²-4x=0．把

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是參數(shù)）代入方程上述方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出；
（II）曲線C的方程可化為（x-2）²+y²=4，其參數(shù)方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，x+y=2+2

2

sin(θ+

π

4

)，利用正弦函數(shù)的值域即可得出．

解答： 解：（I）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，∴x²+y²-4x=0．
把

x=m+ 2 2 t y= 2 2 t

（t是參數(shù)）代入方程上述方程可得：t2+

2

(m-2)t+m2-4m=0，
∴t₁+t₂=-

2

（m-2），t₁t₂=m²-4m．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

2(m-2)2-4(m2-4m)

=

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，解得m=1或3．
（II）曲線C的方程可化為（x-2）²+y²=4，其參數(shù)方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），
設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，x+y=2+2

2

sin(θ+

π

4

)，
∵sin(θ+

π

4

)∈[-1，1]，
∴x+y的取值范圍是[2-2

2

，2+2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)的應(yīng)用、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．