Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設(shè)向

OA

=

a

，

OB

=

b

，其中

a

=(3，1)，

b

=(1，3)．若

OC

=λ

a

+μ

b

，0≤λ+μ≤1且λ，μ≥0，C點所有可能的位置區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)點C（x₀，y₀），根據(jù)已知等式若

OC

=λ

a

+μ

b

建立x₀、y₀的方程組，將其轉(zhuǎn)化為λ+μ=

1

4

(x0+y0)，再根據(jù)0≤λ+μ≤1，且λ，μ≥0得出相應(yīng)的不等式組，由不等式組作出符合題的平面區(qū)域，可以求出所要的區(qū)域的面積．

解答：解：設(shè)點C（x₀，y₀），因為

OC

=λ

a

+μ

b

，所以

x0=3λ+μ y0=λ+3μ

解之得：λ+μ=

1

4

(x0+y0)，λ=

3

8

x0-

1

8

y0且μ=-

1

8

x0+

3

8

y0
再由0≤λ+μ≤1，且λ，μ≥0
可得不等式組：

0≤ 1 4 (x0+y0)≤1 3 8 x0- 1 8 y0≥0 - 1 8 x0+ 3 8 y0≥ 0

，作出相應(yīng)的平面區(qū)域如下圖

可得區(qū)域為△OAB，O（0，0），A（3，1），B（4，4）
因此可以算出△OAB的面積為：S=

1

2

×(4×4) -

1

2

×3×1-

1

2

×1×3-1×1=4
故答案為：4

點評：本題主要考查了兩個知識點：平面向量的坐標運算以及一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域，同時考查了閱讀理解題意的能力以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．