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實數列a，a1，a2，a3…，由下述等式定義．
（Ⅰ）若a為常數，求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求依賴于a和n的an表達式；
（Ⅲ）求a的值，使得對任何正整數n總有an+1＞an成立．
【答案】分析：（Ⅰ）利用，代入求解即可；
（Ⅱ）由，得，令，所以，利用疊加法，可得，從而可得結論；
（Ⅲ）先得出，再對進行分類討論，從而可得結論．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴a1=1-3a，a2=-1+9a，a3=7-27a…（2分）
（Ⅱ）由，得…（3分）
令，所以
所以bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=
==
=，…（6分）
所以…（7分）
所以=
=…（8分）
（Ⅲ）∵
=
∴…（10分）
如果，利用n無限增大時，的值接近于零，對于非常大的奇數n，有an+1-an＜0；
如果，對于非常大的偶數n，an+1-an＜0，不滿足題目要求．
當時，，于是對于任何正整數n，an+1＞an，因此即為所求．…（13分）
點評：本題考查數列遞推式，考查數列通項的研究，考查恒成立問題，確定數列的通項是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設實數p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設H(a)=-
16
[g(a)-27]，數列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：正數數列an中，若關于x的方程x2-
an+1
x+
3an+2
4
=0(n∈N+)有相等的實根
（1）若a1=1，求a2，a3的值；并證明
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
＜
3
4

（2）若a1=a，bn=an-（3n-12）•2n，求使bn+1≥bn對一切n∈N+都成立的a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)模擬）我們規(guī)定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數學 來源：2010年5月湖北省襄樊五中高考數學模擬試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知函數f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a為常數）．
（1）如果對任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設實數p，q，r滿足：p，q，r中的某一個數恰好等于a，且另兩個恰為方程f（x）=0的兩實根，判斷①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否為定值？若是定值請求出：若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設，數列{an}滿足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），試判斷an+1與an的大小，并證明之．

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