Question

如圖所示，某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛，公路的走向是M站的北偏東40°，開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米．問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？

Answer 1

分析：在△ABC中，由余弦定理得cosC，然后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出sinC，通過sin∠MAC=sin（120°-C），在△MAC中求出MC，然后求解MB即可．

解答：解：設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)點(diǎn)B，
則在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，
由余弦定理得cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

312=202-212

2×31×20

=

23

31

，
則sinC=

1-cos2C

=

12 3

31

，…（4分）
由已知∠AMC=60°，∴∠MAC=120°-C，
sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC-cos120°sinC=

35 3

62

…（8分）
在△MAC中，由正弦定理得MC=

AC•sin∠MAC

sin∠AMC

=

31× 35 3 62

3 2

=35    …（12分）
從而有MB=MC-BC=15（千米）
所以汽車還需行駛15千米，才能到達(dá)M汽車站．   …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．