Question

已知拋物線方程為y²=2px（p＞0），經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長為8．
（1）試求拋物線方程；
（2）若該拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足NF=

3

2

MN，求∠NMF的大小．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意，設(shè)拋物線方程為y²=2px，可求得過焦點且傾斜角為135°的直線方程為y=-x+

1

2

p，利用拋物線的定義結(jié)合題意可求得p，從而可求得拋物線方程，
（2）根據(jù)拋物線的定義，N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為G，NG=d=NF，構(gòu)成直角三角形，利用角的互余求解運算．

解答： 解：（1）依題意，設(shè)拋物線方程為y²=2px，則直線方程為y=-x+

1

2

p．設(shè)直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D．
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

即x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是拋物線和直線的交點，
由

y=-x+ p 2 y2=2px

消去y，得x²-3px+

p2

4

=0，
∵△=9p²-4×

p2

4

=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
將其代入①得p=2，
∴所求拋物線方程為y²=4x．
（2）根據(jù)拋物線的定義可知：N到準(zhǔn)線的距離=d=|NF|，
∵NF=

3

2

MN，
∴N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為G，根據(jù)定義可知：sin∠GMN=

d

MN

=

NF

MN

=

3

2

，
即∠NMG=

π

3

∵∠NMF+∠GMN=

π

2

，
∴∠NMF=

π

6

故∠NMF的大小為：

π

6

，

點評：本題考察了拋物線的定義，幾何性質(zhì)，充分利用了到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等這個條件，在計算中的作用．