Question

設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)y=T（sin（x））和y=sin（T（x））的解析式；
（2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）定義T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求y=T_n（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當(dāng)x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時(shí)，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立．
②對(duì)于給定的正整數(shù)m，若方程T_m（x）=kx恰有2^m個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{x_n}（1≤n≤2^m），求數(shù)列{x_n}所有2^m項(xiàng)的和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由和，解出x的范圍，然后直接把代入分段函數(shù)解析式即可，
求y=sin（T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分別寫出函數(shù)y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出當(dāng)a=0時(shí)aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0時(shí)，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1時(shí)此等式成立；
（3）①當(dāng)x∈[0，]時(shí)，x∈[0，），則在函數(shù)T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=T_n（x）的解析式；
②根據(jù)題目給出的條件：當(dāng)x∈[，]（i∈N^*，1≤i≤2ⁿ-1）時(shí)，都有T_n（x）=T_n（-x）恒成立，
求出當(dāng)（i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）時(shí)的T_n（x）的解析式，再由方程T_m（x）=kx求得當(dāng)時(shí)，，那么，數(shù)列{x_n}所有2^m項(xiàng)的和可利用分組進(jìn)行求和．
解答：解：（1）由，得：或（k∈Z），
由，得：（k∈Z）．
所以，函數(shù)=，

函數(shù)=，
所以，．
（2），
．
當(dāng)a=0時(shí)，則有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
綜上可知當(dāng)a=0或a=1時(shí)，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)i∈N^*，1≤i≤n-1，
都有，
故有==2ⁿx．
②由①可知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)命題的結(jié)論可得，
當(dāng)時(shí)，有，
故有=-2ⁿx+2．
因此同理歸納得到，當(dāng)（i∈N，0≤i≤2ⁿ-1）時(shí)，
=．
對(duì)于給定的正整數(shù)m，當(dāng)時(shí)，
解方程T_m（x）=kx得，，
要使方程T_m（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2^m個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
對(duì)于任意i∈N，0≤i≤2^m-1，必須恒成立，
解得，若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{x_n}，
由此可得  （n∈N^*，1≤i≤2^m）．
故數(shù)列{x_n}所有2^m項(xiàng)的和為：

=
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)列的函數(shù)特性及數(shù)列的分組求和，特別是（3）中的②涉及到復(fù)雜條件下的函數(shù)解析式的求解及方程根的問題，需要學(xué)生有清晰的頭腦，考查了學(xué)生進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算的能力，此題是難度較大的題目．