Question

在一次抗洪搶險中準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從上游漂流而下的一個巨大汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是

2

3

．
（1）求油罐被引爆的概率；
（2）如果引爆或子彈打光停止射擊，請通過計算證明：停止射擊的概率必然為1．

Answer 1

分析：（1）記油罐被引爆為事件A，其對立事件

.

A

為5發(fā)子彈用完，油罐沒有被引爆，分析可得

.

A

包含2種情況，①、5發(fā)子彈中有1發(fā)命中，②、5發(fā)子彈都沒有命中，計算可得①②的概率，由互斥事件概率的加法公式可得P（

.

A

），進(jìn)而由對立事件的概率性質(zhì)可得答案，
（2）根據(jù)題意，停止射擊時，射擊次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5；分別求出ξ=2、ξ=3、ξ=4、ξ=5的概率，將其相加即可得停止射擊的概率，即可得證明．

解答：解：（1）記油罐被引爆為事件A，其對立事件

.

A

為5發(fā)子彈用完，油罐沒有被引爆，

.

A

包含2種情況，①、5發(fā)子彈中有1發(fā)命中，其概率為p₁=

C

1 5

 ×

2

3

×(1-

2

3

)4=

10

243

，
②、5發(fā)子彈都沒有命中，其概率為p₂=(1-

2

3

)5=

1

243

，
P（

.

A

）=P₁+P₂=

11

243

，
油罐被引爆的概率P（A）=1-P（

.

A

）=

232

243

，
（2）根據(jù)題意，停止射擊時，射擊次數(shù)ξ的可能取值為2，3，4，5；
當(dāng)ξ=2時，表示兩槍都擊中，P(ξ=2)=(

2

3

)2=

4

9

；
當(dāng)ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，P(ξ=3)=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

；
當(dāng)ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，P(ξ=4)=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

；
當(dāng)ξ=5時，有3種情況①前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中，②子彈打光，5發(fā)子彈都沒有命中，③子彈打光5發(fā)子彈中有1發(fā)命中，
P（ξ=5）=C₄¹×

2

3

×（

1

3

）³×

2

3

+C₅¹×

2

3

×（

1

3

）⁴+（

1

3

）⁵=

1

9

；
計算有P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）=1成立，
即停止射擊的概率必然為1．

點(diǎn)評：本題考查概率的應(yīng)用，涉及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率計算，解題的關(guān)鍵是注意分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，避免重復(fù)討論或遺漏情況．