對(duì)任意實(shí)數(shù)x＞1，y＞
1
2
，不等式
x2
a2(2y-1)
+
4y2
a2(x-1)
≥1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　�。�
A、2
B、4
C、
14
2
D、2
2
分析：不等式
x2
a2(2y-1)
+
4y2
a2(x-1)
≥1恒成立?a2≤
x2
2y-1
+
4y2
x-1
恒成立，其中x＞1，y＞
1
2
．
令t=
x2
2y-1
+
4y2
x-1
=
(x-1)2+2(x-1)+1
2y-1
+
(2y-1)2+2(2y-1)+1
x-1
兩次使用基本不等式即可得出．
解答：解：解：不等式
x2
a2(2y-1)
+
4y2
a2(x-1)
≥1恒成立?a2≤
x2
2y-1
+
4y2
x-1
恒成立，其中x＞1，y＞
1
2
．
令t=
x2
2y-1
+
4y2
x-1
=
(x-1)2+2(x-1)+1
2y-1
+
(2y-1)2+2(2y-1)+1
x-1

≥2
(x-1)2+2(x-1)+1
2y-1
•
(2y-1)2+2(2y-1)+1
x-1

=2
[(x-1)+
1
x-1
+2][(2y-1)+
1
2y-1
+2]

≥2
(2+2)•(2+2)
=8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí)取等號(hào)．
∴a2≤8，解得-2
2
≤a≤2
2
．
∴實(shí)數(shù)a的最大值為2
2
．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)適當(dāng)變形屬于基本不等式，考查了轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|對(duì)任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年河北省高三年級(jí)第四次月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

已知不等式|1－kxy|＞|kx－y|.

（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式|1－kxy|＞|kx－y|;

（2）若不等式|1－kxy|＞|kx－y|對(duì)任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x,y恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|對(duì)任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年河北省保定市徐水一中高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）當(dāng)k=1，y=2時(shí)，解關(guān)于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|對(duì)任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實(shí)數(shù)x，y恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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