Question

（08年濰坊市六模） （12分）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在邊BC上，△是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

 

　�。�1）求證點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；

　　（2）求點(diǎn)C到平面的距離；

　�。�3）求二面角的大�。�

　

Answer 1

解析：（甲）（1）∵　△為以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴　且．

　　∵　正三棱柱，　∴　底面ABC．

　　∴　在底面內(nèi)的射影為CM，AM⊥CM．

　　∵　底面ABC為邊長(zhǎng)為a的正三角形，　∴　點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)．

 

　�。�2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，

　　∴　AM⊥平面　∵　CH在平面內(nèi)，　∴　CH⊥AM，

　　∴　CH⊥平面，由（1）知，，且．

　　∴　．　∴　．

　　∴　點(diǎn)C到平面的距離為底面邊長(zhǎng)為．

　�。�3）過(guò)點(diǎn)C作CI⊥于I，連HI，　∵　CH⊥平面，

　　∴　HI為CI在平面內(nèi)的射影，

　　∴　HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．

　　在直角三角形中，，

，

　　∴　∠CIH＝45°，　∴　二面角的大小為45°