Question

【題目】對于四面體ABCD，以下命題中，真命題的序號為（填上所有真命題的序號）
①若AB=AC，BD=CD，E為BC中點，則平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，則BD⊥AC；
③若所有棱長都相等，則該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2：1；
④若以A為端點的三條棱所在直線兩兩垂直，則A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心；
⑤分別作兩組相對棱中點的連線，則所得的兩條直線異面．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：如圖，對于①，∵AB=AC，BD=CD，E為BC中點，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE∩ED=E，
∴BC⊥面AED，
∴面AED⊥平面ABC．
∴命題①正確；
對于②，過A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
連結(jié)BO并延長交CD于F，連結(jié)DO并延長交BC于E，
由線面垂直的判定可以證明BF⊥CD，DE⊥BC，從而可知O為底面三角形的垂心，
連結(jié)CO并延長交BD于G，則CG⊥BD，再由線面垂直的判斷得到BD⊥面ACG，從而得到BD⊥AC．
∴命題②正確；
對于③，若所有棱長都相等，四面體為正四面體，該四面體的外接球半徑是四面體高的四分之三，
內(nèi)切球的半徑是四面體高的四分之一，∴該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1．
∴命題③錯誤；
對于④，若AB⊥AC⊥AD，過A作底面BCD的垂線AO，垂足為O，
由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD=A，得AB⊥面ACD，則AB⊥CD，進一步由線面垂直的判定證得CD⊥面ABO，
則BO⊥CD，同理可證CO⊥BD，說明O為△BCD的垂心．命題④正確；
對于⑤，如圖，
∵E、F、G、H分別為BC、AC、BD、AD的中點，
∴HF∥DC，GE∥DC，
∴EFHG為平面四邊形．
∴命題⑤錯誤．
∴真命題的序號是①②④．
所以答案是：①②④．


【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應用和異面直線的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）．