Question

（1）已知a＞b＞1，log_ab+log_ba=，求log_ab-log_ba的值．
（2）已知函數y=ax²-3x+3，當x∈[1，3]時有最小值8，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對數的運算性質log_ab•log_ba=1及a＞b＞1，不難求出log_ab及l(fā)og_ba的值，代入即可求出log_ab-log_ba的值．
（2）求二次函數在定區(qū)間上的最值，關鍵是要分析定區(qū)間也函數對稱軸的關系，并結合函數的單調性進行分類討論．
解答：解：（1）∵log_ab•log_ba=1
∴l(xiāng)og_ab=
又∵a＞b＞1，
∴l(xiāng)og_ba＞1
由log_ab+log_ba=
得log_ba+=
解得：log_ba=3
∴l(xiāng)og_ab==
∴l(xiāng)og_ab-log_ba=-
（2）若a=0，則y=-3x+3，在函數在區(qū)間[1，3]的最小值為-6，不符合條件．
若a＜0，則函數y=ax²-3x+3圖象的開口方向朝下，且對稱軸x=＜0，
此時函數y=ax²-3x+3在區(qū)間[1，3]的最大值小于3，故其最小值不可能是8，不符合條件
若a＞0，則函數y=ax²-3x+3圖象的開口方向朝上，且對稱軸x=＞0，
當，即時，y的最小值在x=3處取到，最小值為9a-6，令9a-6=8，得a=，不符合條件
當，即時，y的最小值在為3-＜8，不符合條件
當，即時，y的最小值在x=1處取到，其值為a，令a=8解得a=8
綜上知，當x∈[1，3]時有最小值8時，a的值為8
點評：二次函數y=ax²+bx+c，在定區(qū)間[m，n]上，[1]當m≥-時，對稱軸在區(qū)間左側，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當n≤-時，對稱軸在區(qū)間右側，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當-∈（m，n）時，則f（x）的最小值為f （-）；在[m，-]上函數f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-，n]上函數f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．