Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1的導(dǎo)函數(shù)為f^′（x），g（x）=f^′（x）-ax-3．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（3）若x•g^′（x）+lnx＞0對(duì)一切x≥2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）=x³+3ax-1的導(dǎo)函數(shù)為f^′（x），令f^′（x）＞0，求出單調(diào)增區(qū)間；令f^′（x）＜0求出單調(diào)減區(qū)間；
（2）若對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0，變更主元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（3）依題意，x•g^′（x）+lnx＞0對(duì)一切x≥2恒成立，采取分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f′（x）=3x²-6．令f′（x）=0得x=±

2

，
故當(dāng)x＜-

2

或x＞

2

時(shí)f′（x）＞0，f′（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)f^′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f′（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-

2

]，[

2

，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為(-

2

，

2

)；

（2）因f′（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x²-3，要使h（a）＜0對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a成立，
則

h(-1)=3x2+x-6＜0 h(1)=3x2-x＜0

，解得0＜x＜

1

3

；
0＜x＜

1

3

．

（3）因?yàn)間（x^′）=6x-a，
所以X（6x-a）+lnx＞0
即a＜6x+

lnx

x

=h(x)對(duì)一切x≥2恒成立．h′(x) =6+

1-lnx

x2

=

6x2+ 1-lnx

x2

，
令6x²+1-lnx=φ（x），φ′(x)=12x-

1

x

．
因?yàn)閤≥2，所以φ^′（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，有φ（x）≥φ（2）=25-ln2＞0．
因此h^′（x）＞0，從而h (x)≥h (2)=12+

ln2

2

．
所以a＜hmin(x)=h (2)=12+

ln2

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題，特別是恒成立問(wèn)題，（2）若對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0，變更主元，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)，求出實(shí)數(shù)x的取值范圍；（3）x•g^′（x）+lnx＞0對(duì)一切x≥2恒成立，采取分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬難題．