Question

（2012•揚州模擬）如圖所示的鍍鋅鐵皮材料ABCD，上沿DC為圓弧，其圓心為A，圓半徑為2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．現(xiàn)要用這塊材料裁一個矩形PEAF（其中P在圓弧DC上、E在線段AB上，F(xiàn)在線段AD上）做圓柱的側(cè)面，若以PE為母線，問如何裁剪可使圓柱的體積最大？其最大值是多少？

Answer 1

分析：解法1：分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標系xoy，設(shè)P(x，y)(0＜x≤

3

)，圓柱半徑為r，體積為V，則PE=

4-x2

，r=

x

2π

，從而可求體積，利用換元法，結(jié)合求導數(shù)，即可求得V的最大值；
解法2：設(shè)∠PAB=θ(θ∈[

π

6

，

π

2

)，則PE=2sinθ，AE=2cosθ，r=

cosθ

π

，從而可求體積，利用換元法，結(jié)合求導數(shù)，即可求得V的最大值．

解答：解法1：分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標系xoy，
則圓弧DC的方程為：x2+y2=4(0≤x≤

3

，y＞0)，
設(shè)P(x，y)(0＜x≤

3

)，圓柱半徑為r，體積為V，則PE=

4-x2

，
∵2πr=AE=x，∴r=

x

2π

，
∴V=πr2l=π(

x

2π

)2

4-x2

=

1

4π

x2

4-x2

，
∴V2=

1

16π2

x4(4-x2)，
設(shè)t=x²∈（0，3]，u=t²（4-t），∴u′=-3t2+8t=-3t(t-

8

3

)，
令u'=0，得t=

8

3

，
當

8

3

＜t≤3時，u'＜0，u是減函數(shù)；當0＜t＜

8

3

時，u'＞0，u是增函數(shù)，
∴當t=

8

3

時，u有極大值，也是最大值，
∴當x=

2

3

6

米時，V有最大值

4 3

9π

米³，此時y=

4-x2

=

2

3

3

米，
答：裁一個矩形，兩邊長分別為

2

3

6

m和

2

3

3

m，能使圓柱的體積最大，其最大值為

4 3

9π

m³．
解法2：設(shè)∠PAB=θ(θ∈[

π

6

，

π

2

)，則PE=2sinθ，AE=2cosθ，
由2πr=AE=2cosθ，得r=

cosθ

π

，
∴V=πr2•PE=π(

cosθ

π

)2•2sinθ=

2

π

(1-sin2θ)sinθ，
設(shè)sinθ=t∈[

1

2

，1)，u=t（1-t²），u′=-3t2+1=-3(t+

3

3

)(t-

3

3

)，
令u'=0，得t=

3

3

，
當

3

3

＜t＜1時，u'＜0，u是減函數(shù)；當

1

2

≤t＜

3

3

時，u'＞0，u是增函數(shù)，
∴當t=

3

3

時，u有極大值，也是最大值．
∴θ=arcsin

3

3

時，V有最大值

4 3

9π

米³．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是函數(shù)模型的構(gòu)建，屬于中檔題．